Kiến Thức Hay
Các yếu tố xác định mặt phẳng duy nhất – đáp án C rõ ràng
Th10
Các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất?
- A. Ba điểm phân biệt.
- B. Một điểm và một đường thẳng.
- C. Hai đường thẳng cắt nhau.
- D. Bốn điểm phân biệt.
Đáp án đúng là C. Hai đường thẳng cắt nhau. Trong bốn phương án, chỉ có cặp hai đường thẳng cắt nhau luôn xác định một mặt phẳng duy nhất mà không cần thêm bất kỳ điều kiện phụ nào về vị trí.
Vì sao hai đường thẳng cắt nhau xác định một mặt phẳng duy nhất?
Đây là một trong những tiên đề nền tảng của hình học không gian. Giả sử hai đường thẳng a và b cắt nhau, tức là a ∩ b = {O} với O là điểm chung duy nhất của chúng. Lấy thêm điểm A ∈ a (A ≠ O) và điểm B ∈ b (B ≠ O). Ba điểm O, A, B khi đó không thẳng hàng: A nằm trên đường thẳng a, còn B nằm trên đường thẳng b khác a, nên không tồn tại một đường thẳng duy nhất chứa cả ba điểm.
Theo tiên đề về ba điểm không thẳng hàng, tồn tại duy nhất một mặt phẳng (α) chứa O, A, B. Mặt khác, bất kỳ mặt phẳng nào chứa cả hai đường a và b đều buộc phải chứa O, A và B, nghĩa là phải trùng với (α). Vậy có đúng một mặt phẳng chứa a và b — đó chính là tính “duy nhất” mà đề bài đòi hỏi.
Điểm mấu chốt nằm ở cách phát biểu: cụm từ “hai đường thẳng cắt nhau” đã tự khóa sẵn vị trí tương đối giữa hai đường (có đúng một điểm chung và không trùng nhau). Vì thế kết luận luôn đúng với mọi cặp đường thẳng cắt nhau, không phát sinh ngoại lệ nào.
Vì sao các phương án A, B, D sai?
Cả ba phương án này đều là phát biểu “gần đúng” — chỉ hỏng ở chỗ lược bỏ điều kiện kèm theo, nên trông rất giống các định lí đã học.
- A. Ba điểm phân biệt: thiếu điều kiện “không thẳng hàng”. Phản ví dụ: ba điểm A, B, C phân biệt nhưng cùng nằm trên một đường thẳng d. Khi đó mọi mặt phẳng đi qua d (có vô số mặt phẳng như vậy) đều chứa cả ba điểm, nên không thể nói ba điểm này xác định một mặt phẳng duy nhất.
- B. Một điểm và một đường thẳng: thiếu điều kiện “điểm không thuộc đường thẳng”. Phản ví dụ: nếu điểm A nằm trên đường thẳng d thì mọi mặt phẳng chứa d đều chứa A, mà có vô số mặt phẳng chứa một đường thẳng cho trước. Muốn phát biểu đúng phải ghi đầy đủ: “một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó”.
- D. Bốn điểm phân biệt: bốn điểm tùy ý có thể đồng phẳng hoặc không. Phản ví dụ: bốn đỉnh của một hình tứ diện là bốn điểm phân biệt nhưng không có mặt phẳng nào chứa cả bốn điểm cùng lúc. Vì đề không bảo đảm chúng đồng phẳng, phương án này không chắc chắn xác định được mặt phẳng, càng chưa nói đến “duy nhất”.
Hai phương án dễ nhầm nhất là A và B: học sinh thường thuộc lòng “ba điểm xác định một mặt phẳng” nhưng quên mất cụm “không thẳng hàng”. Chính chi tiết nhỏ này bị lược bỏ để tạo phương án nhiễu.
Hệ thống kiến thức liên quan
Trong hình học không gian, một mặt phẳng là một bề mặt phẳng, kéo dài vô hạn về mọi phía; nói các yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất nghĩa là tồn tại đúng một mặt phẳng chứa tất cả các yếu tố đó. Có bốn trường hợp kinh điển:
- Ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.
- Một đường thẳng và một điểm không nằm trên đường thẳng đó xác định duy nhất một mặt phẳng.
- Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng.
- Hai đường thẳng song song xác định duy nhất một mặt phẳng.
Ba trường hợp sau đều quy được về trường hợp đầu tiên: với hai đường cắt nhau, lấy giao điểm cùng thêm một điểm trên mỗi đường; với hai đường song song, lấy hai điểm trên đường này và một điểm trên đường kia; với đường thẳng và điểm ngoài nó, lấy hai điểm bất kỳ trên đường thẳng. Mỗi lần quy đổi như vậy đều thu được một bộ ba điểm không thẳng hàng.
Mẹo ghi nhớ và nhận diện nhanh
Khi gặp câu hỏi “các yếu tố nào sau đây xác định một mặt phẳng duy nhất”, hãy soi kỹ các từ bổ nghĩa trong từng phương án:
- “Ba điểm phân biệt” khác “ba điểm không thẳng hàng”: từ “phân biệt” chỉ loại trừ trường hợp các điểm trùng nhau, không loại trừ trường hợp thẳng hàng.
- “Một điểm và một đường thẳng” khác “một điểm không thuộc đường thẳng”: phải kiểm tra vị trí của điểm so với đường thì mới kết luận được.
- Phương án nêu vị trí tương đối đã hoàn chỉnh giữa hai đường thẳng (cắt nhau, song song) thường luôn đúng, vì điều kiện đã đủ chặt ngay trong bản thân định nghĩa.
Cách kiểm tra nhanh: tự dựng phản ví dụ bằng cách cho các điểm thẳng hàng hoặc cho điểm nằm trên đường; nếu tìm được ít nhất một tình huống không xác định được mặt phẳng duy nhất thì loại phương án đó ngay lập tức.
